志·卷八

譯文

制定曆法的人各有自己的淵源，史書應該詳盡採錄，使後世有參考的依據。

如《太初曆》起源於音律，《大衍曆》發端於蓍卜，都詳細見於本歷志。

《授時曆》以測量檢駿推算焉宗旨，祇求與天相合，不牽強附會音律、卦爻。

然而它立法的依據．數據的出處，以及日晷影長、行星度數，都有完整的書籍。

郭守堃、查履謙的傳中，有書名可考。

《元史》全沒有採錄，現僅存奎盞的《議錄》、《歷經》的初稿。

後來改變三應率及數據表的數據，和割圓弧矢的方法、平立定三差的來源，都刪去沒有記載。

使作者的精闢見解湮汝無聞，有見識的人都為此感到道憾。

現在根據《大統歷通軌》及《歷草》等書，稍加編排，首先是曆法原理，其次是數據表，再其次是推算。

而曆法原理的細目有七項，是勾股測望，弧矢割圓，黃赤道差，黃赤道內外度，白道交周，日月五星平立定三差，里差刻漏。

在北京立四丈高的標尺，冬至日正午，測得影長七丈九尺八寸五分。

隨即用簡儀測得太陽南至地平二十六度四十六分半，焉半弧背。

求得矢度為五度九十一分半。

將周天半徑，減去矢度，剩餘五十四度九十六分為股，就是本地離頭頂上太陽的度數。

用以弦股求勾的方法，求得勾為二十六度十七分六十六秒，就是太陽出地的半弧弦。

在北京立四丈高的標尺，夏至日正午，測得影長一丈一尺七寸一分。

隨即用簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，為半弧背。

求得矢度為四十三度七十四分又四分之一。

將周天半徑，減去矢度，剩下十七度十三分二十五秒焉勾，就是本地離頭頂上太陽的度數。

用以勾弦求股的方法，求得股為五十八度四十五分半，就是太陽出地的半弧弦。

將冬至夏至太陽南至地平的度數相加，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，為北京的赤道出地度數。

以赤道出地度轉減周天的四分之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，就是北京的緯度。

周天圓的直徑為一百二十一度七十五分又四分之一。

四分之一不用。

半徑為六十度八十七分半。

又是黃道赤道的大弦。

冬至夏至黃道赤道內外半弧背為二十四度。

所測敷取整數。

冬至夏至黃道赤道弧矢為四度八十四分八十二秒。

黃道赤道大勾為二十三度八十分七十秒。

黃道床道大股為五十六度零二分六十八秒。

半徑內減去矢度。

割圓求矢的方法。

將半弧背的度數自乘，就是半弧背的冪。

將周天圓的直逕自乘，就是上廉。

上廉乘半弧背的冪，就是正實。

上廉乘以天圓直徑，就是益從方。

半弧背乘以二，乘以天圓直徑，就是下廉。

用初商乘上廉，再用益從方減去這個得數，餘數就是從方。

將初商自乘並用下廉減自乘的得數，餘數乘以初商，就是從廉。

從方和從廉相加，就是下法。

下法乘以初商，再用正寅減去此數，如正賞不夠減，就改用初商。

正實還有餘數，依次用商除下去。

將初商乘以二，與次商相加並乘以上廉，再用益從方減去乘積，餘數為從方。

將初商和次商相加並自乘，又將初商自乘，然後兩數相加，再用下廉城此數，餘數用初商的二倍加次商輿之相乘，就是從廉。

從方和從廉相加，就是下法。

下法乘以次商，再用余實鹼此數，從而確定次商。

如還有餘數，用同樣的方法計算，商的得敷就是矢的度數。

黃道赤道同用這一度數。

例如以半弧背一度來求矢的度數。

方法是：將半弧背一度自乘，得敷為一度，是半弧背的冪。

將天圓直徑一百二十一度又四分之三自乘，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，就是上廉。

上廉乘以半弧背的冪，得一萬四千八百二十三度零六分二十五秒，就是正實。

上廉又乘天圓直徑，得一百八十萬四千七百零七度八十五分九十三秒七五，就是益從方。

半弧背一度加倍，得二度，乘以天圓直徑得二百四十三度五十分，就是下廉。

初商八十秒。

將初商八十秒乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，再用益從方一百八十萬四千七百零七度八五九三七五減此數，餘一百八+葛四千五百八十九度二七四八七五，就是從方。

又將初商八十秒自乘，得六十四微，再用下廉減此敷，餘二百四十三度四九九九三六。

仍然用八十秒乘此餘數，得一度九四七九九九四八八，就是從廉。

將從廉和從方相加，共得一百八十萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，就是下法。

下法乘以初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，再用正實藏去此數，得余實三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。

次商二秒。

將初商八十秒加倍，得一分六十秒。

加次商二秒，得一分六十二秒，乘以上廉一萬四千八百二十三度零六二五，得二百四十度一三三六一二五，再用益從方減此數，餘一百八十萬四千四百六十七度七二五七六二五，就是從方。

又將初商和次商八十二秒自乘，得六十七微。

加上初商八十秒自乘之數，得一秒三十一微，用下廉減此敷，餘二百四十三度四九九八六九。

乘以前面所得到的一分六十二秒，得三度九十四分四六九七八七七八，就是從廉。

將從廉和從方相加，得一百八十萬四千四百七十一度六十七分零四六零三七七八，就是下法。

將下法乘以次商，得三百六十度八九四三三四零九二零七五五六，用余實減此敷，還餘二十五度四三八三八二九一二零二零四四。

不足一秒捨棄不用，以下同。

求得矢的度數共八十二秒，剩餘部分繼續用上列方法計算。

求得矢的度數，作為黃道赤道相求及求二者內外度的根。

數據詳見後文。

求黃道各度之下赤道度數的方法。

將天圓的半徑減去黃道矢的度數，餘數焉黃道赤道的小弦。

將黃道赤道的小弦，乘以黃道赤道的大股大股見弧矢割圓作為被除數。

黃道赤道的大弦天圓半徑作為除數。

兩數相除，就是黃道赤道的小股。

將黃道的矢自乘作為被除數，以天圓的直徑作為除數，兩數相除，就是黃道半背弦差。

用黃道積度即黃道半弧背減這個差，餘數就是黃道半弧弦。

將黃道半弧弦自乘作為股的冪，黃道赤道小股自乘作為勾的冪，兩個冪相加，開平方，就是赤道小弦。

將黃道的半弧弦，乘以天圓的半徑也是赤道大弦作為被除數，以赤遒小弦作為除數與之相除，就是赤道的半弧弦。

將黃道赤道的小股，也是赤道的橫小勾。

用赤道大弦即半徑相乘作為被除數，以赤道小弦作為除數與之相除，就是赤道橫大勾，再用半徑減赤道橫大勾，餘數就是赤道橫弧矢。

將橫弧矢自乘作為被除數，以直徑作為除數與之相除，就是赤道的半背弦差。

以半背弦差加赤道半弧弦，就是赤道的度數。

如黃道半弧背為一度，求赤道的度數。

方法是：將半徑六十度八十七分五十秒，即黃道赤道大弦。

黃道的矢八十二秒，餘六十度八六六八，就是黃道赤道小弦。

將黃道赤道小弦，乘以黃道赤道大股五十六度零二六八，得三千四百一十度一七二零三零二四作為被除數，以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數，兩敷相除，得五十六度零一分九十二秒，就是黃道赤道的小股。

又是赤道小勾。

將矢的度數八十二秒自乘，得六十七微，以天圓直徑一百二十一度七五作為除數，輿之相除得五十五纖，就是黃道半背弦差。

將黃道半弧背一度，減黃道半背弦差，餘數就是半弧弦。

因半背弦差在一微以下，所以不減，就用一度作為半弧弦。

將黃道半弧弦一度自乘，得一度作為股的冪。

黃道赤道小股五十六度零一九二自乘，得三千一百三十八度一五零七六八六四作為勾的冪。

兩個冪相加得三千一百三十九度一五零七六八六四焉弦實，開平方，得五十六度零二八一，就是赤道小弦。

將赤道半弧弦一度，乘以天圓半徑，即赤道大弦。

得六十度八七五作為被除數，以赤道小弦五十六度零二八一作為除敷相除，得一度零八分六十五秒，就是赤道的半弧弦。

將黃道赤道的小股五十六度零一九二，又是赤道小勾。

乘以赤道大弦天圓半徑六十度八七五，得三千四百一十度一六八八作為被除數，以赤道小弦作為除數相除，得六十度八十六分五十三秒，就是赤道橫大勾。

將天圓半徑六十度八十七分五十秒，減赤道大勾六十度八十六分五十三秒，餘九十七秒，就是赤道橫弧矢。

將赤道橫弧矢九十七秒自乘，得九十四微零九，再以天圓直徑作除數輿之相除，得七十七纖，就是赤道背弦差。

將赤道半弧弦一度零八分六十五秒，加赤道背弦差，就是赤道的度數。

現在赤道背弦差在一微以下，捨棄不加，就用半弧弦作為度數。

共求得赤道度數為一度零八分六十五秒。

其餘度數各自用上面的方法，求到各黃道度數下的赤道度數，兩敷相減，就得到黃道赤道差，這是冬至夏至後的比率。

春分秋分以後，以赤道度數求黃道，反過來相求，數據都相同。

按郭守敬創立的新方法有五條，其中一條是黃道赤道差，這就是它的數據。

舊方法用一百零一度相減相乘。

《授時曆》創立新方法，用勾股、弧矢、方圓、斜直所包含的內容，推求黃道赤道的差敷，合乎天象的原理，比古代更嚴密。

只是《至元歷經》的記載很筒略，又誤以黃道矢度為積差，黃道矢差為差率，現在予以糾正。

凡是圓周從中間剖開，就成了半圓。

任意切分半圓的一部分，就成了弧矢形，都有弧背，有弧弦，有矢。

切分出弧矢形的一半，就有半弧背，有半弧弦，有矢。

因為弦和矢就生出勾股形，以半弧弦焉勾，半徑減矢的餘數為股，半徑為弦。

勾股內又形成小勾股，就有小勾、小股、小弦，而大小可以互相推求，平側可以互相利用，圓周的道理，這就很切近了。

平線是赤道，斜線是黃道。

因為冬至夏至黃道赤道的距離，生出大勾股。

因為各度黃道赤道的距離，生出小勾股。

外面的大圓是赤道。

從北極俯視，黃道在赤道之內，有赤道的各度，就有各度的半弧弦，以此生出大勾股。

又各有輿它們相應的黃道半弧弦，以此生出小勾股。

這二者可以互相推求。

按舊史書沒有圖，然而表也是和圓同類的。

現在勾股割圓弧矢的方法，實在是歷算家測算的根本。

沒有圖不能說明問題，因而保留其重要的幾幅。

推算黃道各度距離赤道的內外度數及距離北極遠近的方法。

將天圓半徑減去赤道小弦，余敷就是赤道兩個弦的差。

又是黃道赤道小弧的矢，又是內外矢，又是股弦差。

將半徑減去黃道矢的度數，餘數就是黃道赤道的小弦。

將冬至夏至黃道赤道內外半弧弦輿黃道赤道小弦相乘作為被除數，以黃道赤道大弦作為除數，即半徑。

輿之相除就是黃道赤道小弧弦。

就是黃道赤道內外半弧弦，又是黃道赤道小勾。

將黃道赤道小弧矢自乘，即赤道兩弦的差。

除以直徑，就是半背弦差。

用這個差加黃道赤道小弧弦就是黃道赤道小弧半背，也就是黃道在赤道內外的度數。

根據黃道在赤道內外的度數，如果在盈初縮末象限表內就加，在縮初盈末象限表內就減，都加減象限表內的度數，就得到太陽距離北極的度數。

如冬至後黃道四十四度，求太陽距離赤道內外的度數及距離北極的度數。

方法是：將天圓半徑六十度八十七分半，減黃道四十四度時赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，就是黃道赤道小弧矢。

即內外矢。

將半徑六十度八七分半，減黃道四十四度時的矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四度三十分六十八秒，就是黃道赤道小弦。

將黃道赤道小弦，用冬至夏至時黃道赤道內外半弧弦二十三度七十一分輿之相乘，得一千零五十度五十一分四二三八作為被除數，以黃道赤道大弦六十度八七五作為除數輿之相除，得十七度二十五分六十九秒，即黃道赤道小弧弦。

即內外半弧弦。

將黃道赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自乘作為被除數，用直徑一百二十一度七十五分與之相除，得五分二十一秒就是背弦差。

用背弦差加黃道赤道小弧弦十七度二十五分六十九秒，得十七度三十分八十九秒，就是冬至夏至前後黃道四十四度時，太陽距離赤道的內外度。

將象限九十一度三十一分四十三秒七五，加內外度十七度三零八九，得一百零八度六十二分三十二秒七五，就是冬至後黃道四十四度時太陽距離北極的度數。

推算白道和赤道的降交點距離黃道赤道降交點的最大數值。

方法是：將寅測到的白道出入黃道內外的六度作為半弧弦，又是大圓的弦矢，又是股和弦的差。

將半徑六十度八七五自乘，得三乾七百零五度七六五六二五，用矢六度與之相除，得六百一十七度六十三分為股弦的和，再加矢六度，共六百二十三度六十三分，就是大圓直徑。

按法則求得容闊五度七十分，又是小勾。

又以冬至夏至時出入半弧弦二十三度七十一分作為大勾。

以大勾作除數，除大股五十六度零六分五十秒，得二度三十七分就整敷而言為度差。

以度差乘小勾，得小股十三度四十七分八十二秒，就是容半長。

以半徑六十度八七五焉大弦，乘以小勾五度七十分作為被除數，以大勾二十三度七十一分焉除數輿之相除，得十四度六十三分就是小弦；又是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的半弧弦。

按法則求得半弧背十四度六十六貧，就是白道赤道降交點距離黃道赤道降交點的最大敷值。